----- 査読者 2 -----
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この論文では、どの二つもたがいに矛盾しないが、三つを合わせれば矛盾する定理系を扱っている。具体的には、解析幾何学における『クレーベの不動点定理』『アルバの一様定理』『ペトロフスカヤ -- ペトロフスキーの格子定理』がその一例となることを、著者らは示している。
この論文内の証明は、技術的には新しくも難しくもない。『不動点定理』と『一様定理』が同時に成立する数学体系の満たすべき条件は、この二定理の無矛盾性を示したシグリストらの論文の中ですでに議論されている。著者らは、この条件を精査することで三定理の矛盾を証明した。また、『不動点定理』と『格子定理』の類似性を用い、『一様定理』と『格子定理』の無矛盾性を証明した。
わたしは『格子定理』にはくわしくないが、これら三つの定理の矛盾が、ほんとうに何らかの問題を起こしうるとは思わない。著者らもおそらくこの問題は認識しており、三つの定理が自然にあらわれうる数学体系に深入りするかわりに、同種の構造が数学の発展におよぼすかもしれない悪影響について述べている。すなわち、数学を矛盾なく発展させるためには、矛盾する二つの定理のあいだを分かつだけでは不十分だから、数学分野は将来的に、ひじょうに細かく分けられてしまうことになるだろう、ということだ。
わたしはこの懸念には懐疑的だ。論文冒頭で述べられているとおり、近代以降の数学史は矛盾とのたたかいの歴史である。だが、矛盾が発見されたために数学分野が分かたれた例は、歴史上ごくわずかしかない。解析幾何学をふくむたいていの分野は、矛盾をはらんだまま問題なく発展しているから、新たな種類の矛盾が即座に分野の分断を意味するわけではないはずだ。
とはいえもちろん、つぎになにかの分野を分かつことになるだけの致命的な矛盾が、この論文の三定理系とおなじ構造をとる可能性はある。著者らはこの可能性には触れてはいないが、そうなったとき、この論文の考え方が有用になる可能性がある。しかし、もしかりにそうなったとしても、大切なのはこの構造の矛盾が発生しうることそれ自体ではなく、致命的な矛盾の具体例のほうであろう。
コメント:
以上の評価は、論文中の三定理が共存する具体的な数学的議論が存在しないという仮定に依存している。もしそのような既存の論文が存在し、著者らがそれに言及するのであれば、わたしには評価をおおきく変えるだけの準備がある。
