数学というのはなかなか大変な活動なようで、あたらしく何かを学ぶのはいつも、かなりの労力を必要とする。たいていの数学は初見ではちんぷんかんぷんで、どこになにが書いてあるのかを把握するだけでも一苦労だ。議論を追いかけるのはさらに難しく、ほとんどの場合最初のうちは、記号が多すぎてなにがなんだか分からない。分からないなりに何度も読み返した結果としてようやく、どの概念がどの場所でどう定義されているかが分かるようになる。
もちろんそれではまだ理解には程遠い。議論の流れを理解したあと、やるべきことは具体的な細部の検証へと移ってゆく。証明の各所に論理的瑕疵はないかどうか。計算が実際に正しいかどうか。どうにも話が合わないと思ったらそもそも定義を誤認していた、なんてことも、この段階では往々にして起こる。思っていた流れと違う議論が始まり、面食らうことだってある。
ここまで来ると一応、定理の正誤が判定できることになる。もちろん読者は人間だから、誤った証明の穴に気づけないということはあるかもしれないし、むしろその方が多いだろう。けれどとりあえずひととおり議論の構造を理解し、その細部を最初から最後まで追いかけることはできたわけだ。
さて。ここまですれば、書かれている数学を理解したことになるだろうか。そう言われれば、まだ答えは否だとわたしは思う。なにもわたしだけがハードルを特別高く設定しているわけではなく、数学をやったことのあるひとのほとんどは、きっとそう答えるだろう。議論を追えるということの先にはまだ、より深い理解がありうる。そして数学を学ぶということはきっと、厳密さを超えた先にあるなにかを掴むことだ。
わたしたちが理解と呼ぶものの正体は、ここではあえて定義するまい。というのも、理解を理解と呼ぶ基準には多分に個人の主観が入ってしまうからだ。数学的概念を理解したという状態をわたしは、その概念の「気持ちが分かった」と表現する。けれど気持ちというものは、なにをどう頑張っても、客観的な定義にはなりえないわけだ。どこまで行けば「気持ちが分かった」ことになるのかについてはもはや、わたし個人にもよく分からない。
論文や数学書といった媒体を通じて、著者と読者はコミュニケートする。その目的はもちろん、読者に理解してもらうことだ。わたし流に言い換えれば、著者の「気持ち」を読者に伝えてあげることだ。そうしてはじめて、コミュニケーションは成功したことになる。
けれども面倒なことに数学には、「気持ち」だけを書いてはコミュニケーションにならないという決まりがある。「気持ち」はあくまで、厳密な証明から派生するものでなければならないのだ。そして論文は、だからこそあのように、非常に読みにくいものになる。
